矢量分析在场论中非常重要，而三个基本算子（梯度、散度与旋度）又是构成各种复杂关系式的基础，下面逐一介绍，应特别注意散度与旋度的基本定义。对于矢量恒等式，在此列出是为了使用时查找方便，具体推导利用张量表示易得。
1.梯度(Gradient)
梯度在数值计算中有着非常广泛的应用，如共轭梯度法，梯度下降法与梯度上升法等，在三维直角坐标系中，某个场
梯度物理意义为：在某个场中，某点的某物理参数增加最快的方向，梯度大小就是增加率。举个例子，我们站在山脚爬山时（此山只有一个山峰），我们迈步第一步的方向有无数个，若想走最短路程到达山顶，此时应沿梯度方向迈出，以此类推，直至到达山顶。从此爬山过程易得，若某点梯度为
除了标量场具有梯度，矢量场也具有梯度。矢量场的梯度将这个矢量线性映射到了另一个矢量，因此对矢量场的梯度是一个张量。在直角坐标系中，若存在矢量场
则该矢量场的梯度为：
2.散度(Divergence)
散度与通量相关，其在电磁学中有着非常广泛的应用，矢量场
其中，体积V为包含点
某点散度代表了该点向外的通量体密度，其物理意义可以理解为：定量给出向量场中任一点是否为源点或汇点。若某点散度等于0，则说明其通量为0，流进=流出；若某点散度大于0，说明流出>流进，相当于一个源点(source)；若某点散度小于0，说明流出<流进，相当于一个汇点(sink)。
应用：流体力学中不可压缩条件为：速度场的散度为0。注意此处的推导过程为，不可压缩意味着密度为常数，根据欧拉描述下（基于场的描述）质量连续性方程：
由于密度为常数，因此其对时间的全导数应为0，因此得出速度的散度为0。
在三维直角坐标系中，散度计算公式为：
散度还有一个非常重要的定理，即散度定理(divergence theorem)，也叫高斯定理(Gauss's theorem)，应用极其广泛，其将面积分与体积分联系起来。关于散度定理的证明，由散度定义式易得。
3.旋度(Curl)
旋度与环量(circulation)联系紧密，其在流体力学中有着广泛的应用，其定义为：
这个式子代表：矢量场
在三维直角坐标系中，旋度的计算为：
旋度中有个重要的Stokes' theorem，将线积分与面积分联系起来：
此处，应注意线积分的方向是逆时针。
在连续介质力学中，有个常用关系式，即速度的旋度等于角速度的两倍。在流体力学中，这个量叫涡量(Vorticity)，应注意不能用涡量来判断是否有漩涡（vortex），即有漩涡，其涡量可能等于0，也可能不等于0。
证明：
最后指出一点：一个旋度为0的矢量场被称为“无旋的”，如纵波传播被称为“无旋波”；散度为0被称为“等容的”，如横波传播被称为“等容波”，表明在传播过程中体积不变。
4.矢量分析中常用恒等式
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)兰姆矢量：
11)Helmholtz decomposition：
前提：
(1)~(10)式用张量表示进行推导特别简单，见本专栏《什么是张量》中对1)式的推导。
Hsuty：什么是张量(tensor)？zhuanlan.zhihu.com5.重要方程
1）流体力学，对不可压缩理想流体，Navier-Stokes equations：
这实质为牛顿第二定律，等号左边为ma（惯性力），右边为F。
第“1”项括号中的式子代表加速度，此加速度是速度的全导数，即物质导数（速度是时间与位置的函数）。第“2”项为单位质量流体压力梯度；第“3”项为剪切粘性项；第“4”项为单位质量体积力。其中，对流加速度项
推导物质导数：
在三维直角坐标系中，
该方程解的存在性与光滑性还未得到证明，这也是七个千禧年大奖难题之一。
2）固体力学，均匀各向同性介质，Lame-Navier equations:
其中，
这个方程实质也是牛顿第二定律，左边是ma，右边是力。
3）电磁学，Maxwell's equation
其中，电场为
一个小故事，Maxwell's equation最初由Maxwell推导得出时具有20个方程，是Heaviside于1885年将其简化到4个方程。更进一步，若用外微分形式，可将散度与旋度统一，此时只需一个方程即可描述麦克斯韦方程组，即：
